공적분 검정과 VECM

건축용 목재의 도매가격이 오르면 소매가격도 즉시 같은 폭으로 오를까요? 실제 시장에서는 계약 조건, 재고, 유통비용 때문에 두 가격이 단기적으로 다르게 움직일 수 있습니다. 그렇더라도 시간이 지나면서 도매가격과 소매가격 사이에 일정한 관계가 유지된다면, 두 시계열에는 장기균형이 존재할 가능성이 있습니다.

문제는 가격 자료가 시간이 흐르면서 지속적으로 상승하거나 하락할 수 있다는 점입니다. 이러한 비정상 시계열을 단순 회귀분석하면 실제 관계가 약한데도 높은 설명력과 유의한 계수가 나오는 가성회귀(Spurious Regression)가 발생할 수 있습니다. 이때 장기 관계의 존재를 검토하는 방법이 공적분 검정(Cointegration Test)이며, 장기 관계에서 벗어난 상태가 단기에 어떻게 조정되는지 분석하는 모형이 벡터오차수정모형(Vector Error Correction Model, VECM)입니다.

이번 글에서는 단위근과 공적분의 차이, Engle–Granger 검정과 Johansen 검정, 공적분 벡터와 오차수정항, VECM 추정 및 진단, 결과 보고 방법까지 월별 가격 자료로 살펴보겠습니다.

두 가격이 각각 장기적인 확률적 추세를 가지고 움직이더라도, 두 가격 사이의 격차를 나타내는 선형결합은 일정한 수준 주변에서 움직일 수 있습니다. 예를 들어 도매가격을 W_t, 소매가격을 R_t라고 할 때 장기관계가 다음과 같다고 가정하겠습니다.

여기서 u_t = R_t − 12 − 1.15W_t가 정상 시계열이라면, 적절한 조건하에서 두 가격은 공적분 관계를 가진다고 볼 수 있습니다. 이는 두 가격의 차이가 매달 일정하다는 뜻이 아닙니다. 일시적으로 균형에서 멀어져도 장기적으로 괴리가 제한된 범위 안에서 움직이는 관계라는 뜻입니다.

위 그림의 두 계열은 서로 아무 관계도 없이 따로 생성한 자료입니다.

반대로 단위근을 가진 시계열은 충격의 영향이 오래 지속되어 수준값의 통계적 특성이 시간에 따라 달라질 수 있습니다.

공적분 분석의 전형적인 출발점은 두 변수가 각각 1차 적분 시계열, 즉 I(1)인지 검토하는 것입니다. I(1)은 수준값에서는 단위근을 가지지만 1차 차분값에서는 정상성을 보이는 시계열을 의미합니다. 이를 확인할 때 ADF 검정과 KPSS 검정 등을 상호 보완적으로 사용할 수 있습니다.

다만 ADF 검정에서 귀무가설을 기각하지 못했다고 해서 단위근의 존재가 증명되는 것은 아닙니다. 표본 길이, 추세항 설정, 구조변화 여부에 따라 검정력이 달라질 수 있으므로 시계열 그래프와 다른 진단을 함께 확인해야 합니다.

가격은 동일한 규격의 목재 묶음을 기준으로 측정했으며, 단위는 달러입니다. 두 가격 모두 물가 조정을 마친 실질가격이라고 가정합니다.

연구자는 도매가격과 소매가격이 개별적으로는 장기적인 추세를 가지더라도, 둘 사이에는 일정한 장기관계가 존재할 것으로 예상합니다. 또한 가격이 장기균형에서 벗어나면 이후 월별 가격변화가 그 차이를 줄이는 방향으로 나타나는지 확인하려고 합니다.

연구 질문은 "목재 도매가격과 소매가격은 장기균형 관계를 가지며, 균형에서 벗어나면 각 가격이 어떤 속도로 조정되는가?"입니다.

다음은 상수항을 포함한 ADF 검정의 결과입니다. 수준값에 결정적 추세를 포함할지는 그래프와 연구 설계에 따라 별도로 판단해야 합니다.

수준값에서는 단위근 귀무가설을 기각하지 못했지만, 1차 차분값에서는 귀무가설을 기각했습니다. 따라서 두 변수를 I(1)로 취급하고 공적분 분석을 진행할 근거가 있다고 볼 수 있습니다.

다만 두 가격이 같은 적분 차수를 가진다는 사실만으로 공적분 관계가 존재하는 것은 아닙니다. 공적분은 별도의 검정이 필요한 장기 관계에 대한 가설입니다.

먼저 수준값의 장기 회귀식을 추정한 다음, 해당 회귀식에서 얻은 잔차에 단위근이 존재하는지 검정합니다. 예를 들어 다음 장기식을 추정했다고 가정하겠습니다.

이후 잔차 û_t = R_t − 12 − 1.15W_t가 정상성을 보이는지 확인합니다. 잔차가 정상적이라면 두 가격이 공통의 확률적 추세를 공유한다는 공적분의 근거가 됩니다.

주의할 점은 추정 잔차에 일반 ADF 검정의 임계값을 그대로 적용하지 않는다는 것입니다. 공적분 검정에 맞는 임계값이나 p값을 사용해야 하며, 회귀식의 상수항·추세항 설정도 검정에 영향을 줍니다. 또한 두 변수 사이에 복수의 공적분 관계가 가능한 다변량 상황에서는 Johansen 접근이 더 자연스러울 수 있습니다.

대표적으로 Trace 검정과 최대고유값(Maximum Eigenvalue) 검정을 사용합니다. 두 변수가 I(1)이라면 공적분 순위는 0 또는 1일 수 있습니다. 순위 0은 공적분 관계가 확인되지 않은 경우이고, 순위 1은 하나의 독립적인 장기관계가 존재하는 경우입니다.

임계값은 결정적 항의 설정에 따라 달라집니다.

첫 번째 가설은 기각되지만 두 번째 가설은 기각되지 않으므로, 이 설정에서는 공적분 순위를 1로 선택할 수 있습니다. 이는 도매가격과 소매가격 사이에 하나의 장기균형 관계가 있다는 결과와 부합합니다.

일반적으로 두 변수 모두 종속변수가 되는 방정식을 구성할 수 있습니다. 가장 단순화한 소매가격 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 괄호 안은 전월의 장기균형 이탈 정도이며, 이를 오차수정항(Error-Correction Term, ECT)이라고 부릅니다. α_R는 이 이탈이 이번 달 소매가격 변화에 어떻게 반영되는지 나타내는 조정계수입니다.

전체 VECM은 도매가격 변화 방정식도 포함할 수 있으며, 각 방정식에 여러 개의 차분 시차항과 필요한 결정적 항을 포함합니다. 따라서 VECM은 단순히 잔차 하나를 추가한 회귀식이라기보다 장기 관계와 단기 동학을 함께 추정하는 체계입니다.

이때 소매가격 방정식의 오차수정계수가 -0.30이라면, 다른 단기 변화 요인이 같을 때 전월 소매가격이 장기균형 수준보다 10달러 높았던 경우 이번 달 소매가격 변화에 약 -3달러의 조정 압력이 작용한다고 해석할 수 있습니다.

이는 자주 한 기간에 균형 이탈의 약 30%를 조정하는 방향이라고 설명됩니다. 다만 두 가격이 동시에 변하는 VECM 전체에서 균형오차가 실제로 매달 정확히 30%씩 감소한다는 뜻은 아닙니다. 도매가격의 조정, 단기 시차항 및 새로운 충격도 함께 작용하기 때문입니다.

오차수정계수의 부호는 ECT를 어느 방향으로 정의했는지에 따라 달라집니다. 따라서 결과를 해석할 때는 반드시 공적분 벡터의 정규화 방식을 함께 확인해야 합니다.

설명을 단순화하기 위해 표에는 주요 계수만 제시합니다.

소매가격의 오차수정계수는 -0.30으로 유의하게 나타났습니다. 이는 장기균형보다 소매가격이 높은 경우 소매가격이 하락하는 방향으로 조정된다는 해석과 부합합니다. 반면 도매가격 방정식의 조정계수는 유의하지 않았으므로, 이 자료에서는 도매가격이 균형 이탈에 적극적으로 반응한다는 충분한 근거가 확인되지 않았습니다.

전월 도매가격 변화의 계수가 0.45라는 결과는 다른 모형 조건이 같을 때 전월 도매가격이 1달러 상승한 경우 이번 달 소매가격 변화가 평균적으로 0.45달러 높은 방향의 관계를 보였다는 뜻입니다. 다만 이러한 시차 관계만으로 가격 전가의 인과효과가 입증되는 것은 아닙니다.

시차가 너무 짧으면 자기상관이 잔차에 남을 수 있고, 너무 길면 자유도를 소모하여 추정이 불안정해질 수 있습니다. 보통 AIC, BIC 등의 정보기준과 잔차 자기상관 검정을 함께 활용합니다. 이때 VAR 수준 모형에서의 시차 수와 VECM에 포함되는 차분 시차 수의 대응 관계를 주의해서 확인해야 합니다.

또한 가격 시계열에 결정적 추세가 존재하는지, 장기균형식에 상수항을 허용할지에 따라 Johansen 검정과 추정 결과가 달라질 수 있습니다. 따라서 검정 단계와 모형 추정 단계에서 결정적 항의 설정을 일관되게 유지하는 것이 중요합니다.

공적분 검정에서 장기관계에 대한 근거가 확인되지 않는다면, 정상성을 확보한 차분값으로 VAR 등의 모형을 검토할 수 있습니다.

반면 변수들의 적분 차수가 다르거나 I(2) 변수가 포함되어 있다면 표준적인 I(1) Johansen VECM을 그대로 적용하는 것은 적절하지 않을 수 있습니다. 변수의 적분 특성에 따라 다른 접근이 필요합니다.

또한 정책 변경이나 유통구조 개편으로 장기관계 자체가 바뀌었다면, 전체 기간에 하나의 공적분 벡터를 적용하는 모형이 부적절할 수 있습니다. 구조변화 검정과 구간별 분석을 검토할 필요가 있습니다.

높은 상관계수는 공적분의 충분한 근거가 아닙니다. 공적분은 비정상 시계열의 특정 선형결합이 정상적인지에 관한 개념입니다.

단위근과 공적분 검정의 설정을 확인해야 합니다.

추세항, 시차 수, 표본 기간에 따라 검정 결과가 달라질 수 있으며, 구조변화가 있는 경우 단순한 검정이 잘못된 결론을 줄 수 있습니다.

공적분 벡터의 정규화와 조정계수의 부호를 함께 제시해야 합니다.

ECT를 반대 방향으로 정의하면 조정계수의 부호도 반대로 나타날 수 있습니다.

진단 결과를 함께 확인해야 합니다.

잔차 자기상관, 이분산성, 정규성, 모형 안정성 등을 검토하고 추정된 모형이 자료를 적절하게 설명하는지 평가해야 합니다.

장기 관계를 인과관계로 단정하지 않아야 합니다.

도매가격과 소매가격이 공적분되어 있어도 그 사실만으로 어느 가격이 다른 가격의 원인인지 확인할 수는 없습니다. 인과적 주장은 제도적 배경이나 추가적인 식별 전략이 필요합니다.

공적분 순위와 ECT 정의를 명시하면 결과를 재현하고 해석하기 쉬워집니다.

VECM은 공적분 관계가 확인된 변수들의 단기 변화와 장기균형 이탈을 하나의 체계에서 함께 분석합니다.

목재 도매가격과 소매가격의 예제처럼 두 가격은 매달 다르게 움직일 수 있지만 장기적으로 일정한 관계를 유지할 수 있습니다. 이때 오차수정계수는 균형에서 벗어난 상태가 이후 가격변화에 어떻게 반영되는지 보여줍니다. 다만 검정의 유의성만 확인하기보다는 변수의 적분 차수, 공적분 순위, 시차 설정, 잔차 진단과 구조변화 가능성을 함께 검토해야 합니다.