ADF 정상성 검정

월별 매출 그래프가 꾸준히 올라가고 있다고 가정해 보겠습니다. 이 그래프에 자기상관이 나타난다면, 매출이 지난달의 영향을 받기 때문일까요? 아니면 시간이 흐르면서 수준 자체가 변해 생긴 현상일까요?

시계열에서는 단순한 증가 추세와 지속적인 확률적 변화가 섞여 나타납니다. 이런 자료에 일반적인 회귀나 ARIMA 모형을 적용하기 전에 시계열의 성질을 점검해야 하는 경우가 많습니다.

ADF 검정(Augmented Dickey–Fuller test)은 시계열에 단위근(unit root)이 존재하는지를 검정합니다. 단위근이 있다는 것은 충격의 영향이 오래 지속되어, 통상적인 정상 시계열과 성질이 다를 가능성이 크다는 뜻입니다.

이번 가이드에서는 가상의 월별 매출 지수를 사용하여 원계열과 1차 차분계열을 비교하고, ADF 통계량·p값·임계값을 읽는 방법과 검정의 한계를 살펴보겠습니다.

ADF 검정은 Dickey–Fuller 검정을 확장해 시계열의 추가적인 시차 차분항을 포함할 수 있도록 한 단위근 검정입니다. 여러 시점에 걸친 자기상관을 고려하면서 현재 시계열이 단위근을 갖는지를 검토합니다.

ADF 검정의 귀무가설(H₀)은 단위근이 존재한다는 것입니다. 대립가설(H₁)은 지정한 결정적 항(상수·추세 등)을 고려했을 때 단위근이 없는 과정이라는 뜻입니다. 귀무가설을 기각했다고 해서 모든 의미의 정상성이 자동으로 입증되는 것은 아닙니다.

평균과 변동 구조가 시간에 따라 달라지는 자료에서는 단순 상관이 과장되거나, 모형의 잔차 구조가 제대로 설명되지 않을 수 있습니다. 예를 들어 서로 무관한 두 상승 시계열을 회귀하면 유의한 관계처럼 보이는 허위회귀가 나타날 수 있습니다.

단위근 검정은 정상성을 판단하는 유일한 방법이 아닙니다. 그래프와 계절성, 구조적 변화, 다른 검정의 결과를 함께 보아야 합니다. 다만 차분이 필요한지 검토하는 출발점으로 유용합니다.

검정통계량은 γ에 대한 t 형태의 통계량이지만, 일반적인 t분포가 아닌 Dickey–Fuller 특유의 분포를 사용합니다. 따라서 보통의 t검정 임계값으로 판단하면 안 됩니다.

차분 시차항 수가 너무 적으면 잔차 자기상관이 남고, 너무 많으면 검정력이 줄어들 수 있습니다. 이번 예제에서는 상수항을 포함하고 AIC로 시차 수를 선택합니다.

한 소매기업이 10년 동안 기록한 월별 매출 지수를 살펴봅니다. 이 가상 자료는 매월 작은 상승 압력과 불규칙한 충격이 누적되도록 생성했습니다. 실제 회사의 매출 자료가 아닙니다.

원계열에서는 시간이 흐르면서 수치가 이동하며, 충격에 따른 변화가 이후 수준에도 남습니다. 이 모습은 단위근이 있는 시계열과 잘 맞지만, 그래프만으로 단위근을 확정해서는 안 됩니다.

원계열의 ADF 통계량은 -0.148, p값은 0.944입니다. 5% 유의수준에서 귀무가설을 기각하지 못합니다. 따라서 단위근이 없다고 결론 내릴 근거가 충분하지 않습니다. 이는 단위근이 반드시 존재한다는 증명과는 다릅니다.

검정통계량이 해당 임계값보다 더 음수인 경우 귀무가설을 기각하는 방향입니다. 실제 판정에서는 선택한 모형 사양과 p값·임계값을 함께 확인해야 합니다.

1차 차분은 이번 달 값에서 지난달 값을 빼서 계산합니다. 누적된 수준 변화를 없애면서, 각 달의 변화량을 중심으로 자료를 살펴볼 수 있습니다. 다만 모든 비정상 시계열이 1차 차분만으로 해결되지는 않습니다.

차분계열의 ADF 통계량은 -4.494, p값은 0.0002018입니다. 5% 수준에서 단위근 귀무가설을 기각합니다. 이 가상 사례에서는 원계열보다 차분계열이 정상 시계열에 가까운 특성을 보인다고 해석할 수 있습니다.

추세가 뚜렷하다고 무조건 추세항을 넣거나 빼서는 안 됩니다. 자료가 생성된 맥락과 그래프, 모형 가정에 맞춰 결정해야 합니다. 사양을 바꿀 때는 검정의 해석도 함께 달라집니다.

ADF와 KPSS는 귀무가설의 방향이 다르므로 보완적으로 사용할 수 있습니다. ADF를 통과했다고 해서 Ljung–Box의 자기상관 문제까지 해결되는 것은 아닙니다.

시간 간격과 결측값

월별 자료라면 연속된 달이 빠짐없이 존재해야 합니다. 결측을 아무 근거 없이 0으로 채우거나, 불규칙한 날짜를 순서만 보고 분석하면 차분과 시차 해석이 틀어질 수 있습니다.

계절성과 구조적 변화

계절적 단위근, 경기 충격, 제도 변경에 따른 구조적 단절은 통상적인 ADF 검정의 결과를 흔들 수 있습니다. 필요하면 계절 차분이나 구조변화에 강건한 별도 검정을 검토합니다.

시차 길이와 표본 크기

시차 수는 AIC·BIC 등으로 선택할 수 있지만 표본 수가 적으면 검정력이 낮아질 수 있습니다. 잔차 자기상관이 남는지도 점검해야 합니다.

p값이 .05 이상이라는 이유로 “시계열은 비정상이다”라고 단정하기 어렵습니다. 단위근을 기각할 증거가 부족하다는 뜻이며, 낮은 검정력이나 모형 사양 때문에 그렇게 나왔을 수 있습니다.

반대로 p값이 .05보다 작아도 분산 일정성, 계절적 안정성, 구조변화 부재까지 보장되지는 않습니다. 차분을 과도하게 적용하면 유용한 장기 관계를 잃을 수 있으므로 시각적 진단과 맥락을 함께 고려해야 합니다.

보고서에는 자료의 단위와 관측 기간, 상수·추세의 포함 여부, 시차 선택 방식, ADF 통계량과 p값, 차분 여부를 명시합니다.

ADF 검정은 예측 자체를 수행하지는 않지만, ARIMA와 VAR 등 여러 시계열 모형을 적절히 설정하는 데 필요한 판단 근거를 제공합니다. 장기균형 관계를 분석하려면 개별 계열의 적분 차수와 공적분 여부도 별도로 검토해야 합니다.

ADF 검정은 시계열의 단위근 여부를 검토해 차분과 모형 설정을 판단하는 데 도움을 줍니다. 원계열에서 귀무가설을 기각하지 못했더라도 단위근의 존재가 증명된 것은 아니며, 반대로 기각했더라도 모든 형태의 정상성이 보장되는 것은 아닙니다.

검정에 사용한 결정적 항과 시차 선택 방식, 그래프, 구조변화 가능성을 함께 살펴보아야 결과의 의미를 올바르게 전달할 수 있습니다.