ACF·PACF·ADF·Ljung–Box 검정

온라인 고객센터에 매주 접수되는 문의 건수를 분석한다고 가정해 보겠습니다. 지난주 문의가 많았다면 이번 주에도 문의가 많을까요? 서비스 개편 이후 문의량이 꾸준히 늘었다면 과거의 패턴을 그대로 이용해 미래를 예측해도 될까요? 예측모형을 만든 뒤에는 모형이 놓친 시간적 패턴이 남아 있지 않은지도 확인해야 합니다.

이때 자주 함께 사용하는 도구가 자기상관함수(ACF), 편자기상관함수(PACF), ADF 단위근 검정, Ljung–Box 검정입니다. 네 방법은 이름이 비슷한 시계열 진단 목록처럼 보이지만, 실제로 답하는 질문은 다릅니다. ACF와 PACF는 과거와 현재 값의 관계를 살펴보고, ADF 검정은 단위근의 존재 여부를 검토하며, Ljung–Box 검정은 여러 시차의 자기상관이 함께 0인지 평가합니다.

이 글에서는 고객센터의 주간 문의 건수 156주(3년)를 예제로 사용해 네 방법의 원리와 분석 순서, 수치 해석, 흔히 발생하는 오해를 정리하겠습니다.

이번 주 문의 건수는 지난주 문의 건수와 관련될 수 있고, 월말 정산이나 제품 업데이트 같은 일정이 반복적인 변동을 만들 수도 있습니다. 시간을 무시하면 실제 자료에 존재하는 의존성을 놓치기 쉽습니다.

예제에서는 2023년 첫째 주부터 2025년 마지막 주까지 동일한 정의로 집계한 주간 문의 건수 156개를 사용합니다. 분석 전에는 누락된 주가 없는지, 주 단위 집계 기준이 변경되지 않았는지, 대규모 장애처럼 예외적인 사건이 있었는지 확인합니다. 문의 건수가 증가했다고 해서 곧바로 추세라고 단정하지 않고, 계절성이나 구조 변화의 가능성도 살펴봅니다.

예를 들어 1시차 자기상관은 이번 주와 지난주 문의 건수의 관계이고, 4시차 자기상관은 이번 주와 4주 전 문의 건수의 관계입니다. 시차가 1인 모집단 자기상관을 개념적으로 표현하면 다음과 같습니다.

자기상관이 양수라면 과거 값이 높았던 시점에 현재 값도 높은 경향이 있음을 의미합니다. 음수라면 높은 값 다음에 낮은 값이 나타나는 경향을 나타냅니다. 하지만 자기상관은 인과관계를 뜻하지 않으며, 추세나 계절성 때문에 크게 나타날 수도 있습니다.

보통 가로축에는 시차, 세로축에는 상관계수를 놓은 막대형 그래프인 ACF 플롯으로 확인합니다. 문의 건수 원계열에서 다음과 같은 표본 ACF가 나왔다고 가정해 보겠습니다.

인접한 주의 문의량 사이에 강한 양의 상관이 나타나며, 시차가 커져도 상관이 비교적 천천히 감소합니다. 이 패턴은 지속성이 높은 정상 시계열에서도 나타날 수 있지만, 추세나 단위근이 있는 비정상 시계열에서도 관찰될 수 있습니다. ACF의 느린 감소만으로 단위근을 확정할 수는 없습니다.

ACF를 살펴볼 때는 막대의 높이뿐 아니라 신뢰구간과 분석에 사용한 시계열의 변환 상태(원계열·차분계열·잔차)를 함께 확인해야 합니다.

그림의 표시하지 않은 시차는 표의 값을 부드럽게 이어 그린 것입니다.

예를 들어 3시차 PACF는 1·2시차의 선형적 영향을 통제한 뒤 현재 값과 3주 전 값 사이의 관계를 평가합니다.

정상적인 순수 AR(1) 과정에서는 PACF가 1시차 이후 이론적으로 0이 되며, ACF는 점차 감소합니다. 순수 MA(1) 과정에서는 반대로 ACF가 1시차 이후 이론적으로 0이 되고 PACF는 점차 감소합니다.

다만 이는 교과서적인 이상적 패턴입니다. 실제 표본에서는 잡음, 혼합 ARMA 구조, 계절성과 추정오차 때문에 명확한 절단 형태가 나타나지 않을 수 있습니다.

ACF와 PACF는 특히 정상화된 시계열에서 AR 차수 p와 MA 차수 q의 후보를 검토할 때 유용합니다.

실무에서는 이 패턴을 모형 확정 규칙이 아닌 초기 후보를 찾는 단서로 사용해야 합니다. 최종 모형은 AIC·BIC, 잔차 진단, 시계열 교차검증이나 홀드아웃 예측 성능 등을 종합해 비교하는 편이 좋습니다.

모든 시계열 모형이 같은 정상성 가정을 요구하지는 않지만, 전통적인 ARMA 분석에서는 특히 중요합니다.

고객센터 문의 건수가 서비스 규모 확대와 함께 장기간 증가한다면 평균 수준이 시간에 따라 달라질 수 있습니다. 이 상태에서 원계열의 자기상관을 그대로 해석하면 실제 단기 의존성보다 추세의 영향을 크게 반영할 수 있습니다. 따라서 그래프와 데이터 생성 과정을 검토하고 필요하면 추세 제거, 계절조정, 차분 등을 고려합니다.

단, 차분이 항상 필요한 것은 아닙니다. 추세 정상 과정이나 구조 변화가 있는 시계열에서는 무조건 차분하는 것이 오히려 정보를 손실시킬 수 있습니다.

시차 차분항을 포함해 오차의 자기상관을 보완한 회귀식으로 검정을 수행합니다. 단순화한 ADF 회귀식은 다음과 같습니다.

• 귀무가설 H₀: 단위근이 존재한다(γ = 0).
• 대립가설 H₁: 설정한 결정적 항(상수·추세 등)을 기준으로 단위근이 없는 과정이다.

ADF의 임계값과 p값은 일반적인 t검정과 다르게 계산합니다. 상수항 또는 시간추세를 포함할지, 지연 차수를 얼마로 할지에 따라서도 결과가 달라질 수 있습니다. 또한 ADF는 모든 형태의 비정상성을 검정하는 만능 도구가 아니며, 구조 변화나 계절 단위근이 있을 때 별도의 검토가 필요합니다.

아래 수치는 별도의 ACF 예시와 함께 진단 흐름을 설명하기 위해 설정했습니다.

원계열에서 p값이 .573이라는 것은 단위근이 없다고 판단할 충분한 근거가 없다는 뜻이지, 단위근이 반드시 존재한다는 증명이 아닙니다. 반면 1차 차분계열에서는 해당 검정 설정 아래 단위근 귀무가설을 기각할 수 있습니다.

이에 따라 ARIMA의 차분 차수 d = 1을 후보로 고려할 수 있습니다. 다만 차분 후 그래프, ACF·PACF와 모형 적합도까지 검토해야 하며, 구조 변화나 계절성을 무시해서는 안 됩니다.

원계열의 값이 매주 증가하더라도 증가 폭 자체가 안정적이라면 차분계열에서는 더 일정한 평균을 보일 수 있습니다. 하지만 차분하면 관측값 하나가 줄어들고, 원래 시계열의 수준 정보가 직접적으로 보이지 않습니다. 과도한 차분은 불필요한 음의 자기상관을 만들기도 합니다.

이번 예제에서는 차분 후 ACF가 짧은 시차에서 빠르게 약해지고 PACF의 1시차에 뚜렷한 막대가 관찰되었다고 가정하겠습니다. 이 경우 ARIMA(1,1,0)을 초기 후보로 삼을 수 있지만, ARIMA(0,1,1)이나 다른 후보와 실제 적합도를 비교하는 과정이 필요합니다.

한 시차씩 확인하는 ACF와 달리 설정한 최대 시차까지의 상관을 종합해 평가합니다. 검정통계량은 다음과 같습니다.

여기서 n은 관측값 수, h는 검정에 포함한 최대 시차, ρ̂_k는 k시차 표본 자기상관입니다. 귀무가설은 일반적으로 1시차부터 h시차까지 자기상관이 모두 0이라는 것입니다.

Ljung–Box 검정은 원계열의 의존성 탐색에도 쓸 수 있지만, 특히 예측모형의 잔차에 자기상관이 남아 있는지 확인할 때 자주 사용합니다. ARIMA 잔차에 적용할 때는 추정한 AR·MA 모수 수 등을 고려해 검정 자유도를 조정하는 것이 일반적입니다.

아래 표의 검정은 최대 12시차까지, AR·MA 추정 모수 수를 고려한 자유도 조정 방식으로 계산했다고 가정합니다.

후보 A에서는 귀무가설을 기각하므로 모형이 시간적 의존성을 충분히 설명하지 못했을 가능성을 검토해야 합니다. 후보 B에서는 귀무가설을 기각하지 못하지만, 잔차가 완벽한 백색잡음이라고 증명된 것은 아닙니다. 검정력과 선택한 최대 시차에 따른 한계가 있습니다.

또한 Ljung–Box는 평균 구조에서 남은 선형 자기상관을 주로 검토합니다. 변동성 군집이나 조건부 이분산을 확인하려면 제곱잔차의 패턴이나 ARCH 관련 진단을 추가할 수 있습니다.

실제 분석에서는 다음 순서가 유용합니다.

1. 원계열 시각화: 추세·계절성·이상치·구조 변화 확인
2. 원계열 ACF·PACF: 시간적 의존성의 형태 파악
3. ADF 검정: 설정한 추세·상수 조건하에서 단위근 검토
4. 필요한 변환: 차분·계절차분·추세 제거 등 적용
5. 변환계열 ACF·PACF: AR·MA 차수 후보 선정
6. 모형 적합: 복수 후보의 적합도와 예측 성능 비교
7. 잔차 ACF·Ljung–Box: 설명되지 않은 자기상관 확인

이 순서는 출발점이지 모든 시계열에 적용되는 고정 절차가 아닙니다. 예를 들어 계절성이 뚜렷하다면 계절 시차의 ACF와 계절차분을 먼저 검토해야 할 수 있고, 뚜렷한 구조 변화가 있다면 해당 사건의 시점과 모형 반영 방법부터 살펴보는 것이 좋습니다.

두 검정 모두 귀무가설을 기각하지 못하는 결과를 해당 가설이 참이라는 증거로 바꿔 읽어서는 안 됩니다.

또한 ACF와 PACF의 막대 모양만 보고 ARIMA 차수를 확정하면 과적합이나 잘못된 차분을 유발할 수 있습니다. 주간 데이터에서는 연간 주기(약 52주)와 공휴일·이벤트 효과가 존재할 수 있으며, 이 예제의 156주 자료로 52주 계절성을 추정하는 경우에는 반복 주기가 세 번뿐이라는 점도 유의해야 합니다.

실제 보고 시에는 ADF의 결정적 항과 지연 차수 선택 방법, Ljung–Box의 최대 시차와 자유도 조정, 사용한 ARIMA 모형 및 잔차 진단 조건을 명시해야 합니다.

ADF는 단위근의 존재를 검정하며, Ljung–Box는 여러 시차의 자기상관이 함께 0인지 검정합니다.

시계열분석에서는 네 도구 중 하나의 결과만으로 모형을 결정하기보다 원계열의 특성, 필요한 변환, 후보 모형 비교, 잔차 진단을 하나의 흐름으로 연결하는 것이 중요합니다. ACF·PACF는 구조를 탐색하고, ADF는 단위근을 점검하며, Ljung–Box는 남아 있는 자기상관을 확인하는 도구라는 점을 기억하면 각 분석의 역할을 구분하기 쉽습니다.